Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别为棱AB，BC的中点．
（1）试判截面MNC₁A₁的形状，并说明理由；
（2）证明：平面MNB₁⊥平面BDD₁B₁．

Answer

（I）连接AC，因为M、N分别为棱AB、BC的中点，根据MN∥A1C1，且MN≠A1C1，MNC1A1是梯形，易证Rt△AMA1≌Rt△CNC1，从而A1M=C1N，则MNC1A1是等腰梯形；
（Ⅱ）欲证平面MNB1⊥平面BDD1B1，根据面面垂直的判定定理可知在平面B1MN内一直线与平面平面BDD1B1垂直，而根据线面垂直的判定定理可得MN⊥平面BDD1B1．
证明：（Ⅰ）截面MNC1A1是等腰梯形，（1分）
连接AC，因为M、N分别为棱AB、BC的中点，
所以MN∥AC，MN≠AC
又ACA1C1，∴MN∥A1C1，且MN≠A1C1，是梯形，（4分）
易证Rt△AMA1≌Rt△CNC1，∴A1M=C1N∴MNC1A1是等腰梯形（6分）
（Ⅱ）正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，BB1⊥平面ABCD，MN⊆平面ABCD，∴BB1⊥MN，又MN∥AC，（8分）
∴MN⊥BD，BD∩BB1=B，∴MN⊥平面BDD1B1，MN⊆平面B1MN，（10分）
∴平面MNB1⊥平面BDD1B1（12分）