Question

已知双曲线x²-=1与点P（1，2），过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB中点．
（1）求直线AB的方程；
（2）若Q（1，1），证明不存在以Q为中点的弦．

Answer

（1）设出过P（1，2）点的直线AB方程，然后代入双曲线方程，利用设而不求韦达定理求出k的值，求出AB的方程即可．
（2）按照（1）的方法，求出k=2，此时，△＜0，所以这样的直线不存在．
【解析】
（1）设过P（1，2）点的直线AB方程为y-2=k（x-1），
代入双曲线方程得
（2-k2）x2+（2k2-4k）x-（k4-4k+6）=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则有x1+x2=-，
由已知=xp=1，
∴=2．解得k=1．
又k=1时，△=16＞0，从而直线AB方程为x-y+1=0．
（2）证明：按同样方法求得k=2，
而当k=2时，△＜0，
所以这样的直线不存在．