Question

已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C：+=1（a＞b＞0）上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线C′：-=1写出具有类似特性的性质，并加以证明．

Answer

设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（-m，-n），进而可知-=1、又设点P的坐标为（x，y），表示出直线PM和PN的斜率，求的两直线斜率乘积的表达式，把y和x的表达式代入发现结果与p无关．
【解析】
类似的性质为若MN是双曲线-=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．
设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（-m，-n），
其中-=1、又设点P的坐标为（x，y），
由kPM=，kPN=，
得kPM•kPN=•=，
将y2=x2-b2，n2=m2-b2，代入得kPM•kPN=．