Question

已知双曲线-=1的离心率e＞1+，左、右焦点分别为F₁、F₂，左准线为l，能否在双曲线的左支上找一点P，使得|PF₁|是P到l的距离d与|PF₂|的等比中项？

Answer

设左支上存在P点，由双曲线的第二定义知|PF2|=e|PF1|，再由双曲线的第一定义，得|PF2|-|PF1|=2a由此推导出e2-2e-1≤0，解得1＜e≤1+与已知e＞1+矛盾．从而断定在双曲线左支上找不到点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项．
【解析】
设在左支上存在P点，使|PF1|2=|PF2|•d，由双曲线的第二定义知
==e，即|PF2|=e|PF1|①
再由双曲线的第一定义，得|PF2|-|PF1|=2a．②
由①②，解得|PF1|=，|PF2|=，
∵|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，
∴+≥2c．③
利用e=，由③得e2-2e-1≤0，
解得1-≤e≤1+．
∵e＞1，
∴1＜e≤1+与已知e＞1+矛盾．
∴在双曲线左支上找不到点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项．