Question

设双曲线的中心在原点，准线平行于x轴，离心率为，且点P（0，5）到此双曲线上的点的最近距离为2，求双曲线的方程．

Answer

由双曲线中心在原点，准线平行于x轴，可设双曲线的方程为-=1．由离心率为，可得a2+b2=（a）2=c2．由点P（0，5）到此双曲线上的点的最近距离为2，可转化为二次函数的最大（小）值问题来讨论，得到a、b应满足的另一关系式．从而求出a2、b2，本题得解．
【解析】
依题意，设双曲线的方程为-=1（a＞0，b＞0）．
∵e==，c2=a2+b2，∴a2=4b2．
设M（x，y）为双曲线上任一点，则
|PM|2=x2+（y-5）2
=b2（-1）+（y-5）2
=（y-4）2+5-b2（|y|≥2b）．
①若4≥2b，则当y=4时，
|PM|min2=5-b2=4，得b2=1，a2=4．
从而所求双曲线方程为-x2=1．
②若4＜2b，则当y=2b时，
|PM|min2=4b2-20b+25=4，
得b=（舍去b=），b2=，a2=49．
从而所求双曲线方程为-=1．