Question

如图，过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线l作垂线，垂足分别为M₁、N₁
（1）求证：FM₁⊥FN₁；
（2）记△FMM₁、△FM₁N₁，△FNN₁的面积分别为S₁、S₂、S₃，试判断S₂²=4S₁S₃是否成立，并证明你的结论．

Answer

（1）由抛物线的定义得|MF|=|MM1|，|NF|=|NN1|，所以∠MFM1=∠MM1F，∠NFN1=∠NN1F，由此可知FM1⊥FN1．
（2）S22=4S1S3成立，证明如下：设M（x1，y1），N（x2，y2），则由抛物线的定义得|MM1|=|MF|=，|NN1|=|NF|=，由此入手能够推导出S22=4S1S3成立．
（1）证明：由抛物线的定义得
|MF|=|MM1|，|NF|=|NN1|，
∴∠MFM1=∠MM1F，∠NFN1=∠NN1F
如图，设准线l与x的交点为F1
∴MM1∥NN1∥FF1
∴∠F1FM1=∠MM1F，∠F1FN1=∠NN1F
而∠F1FM1+∠MFM1+∠F1FN1+∠N1FN=180°
即2∠F1FM1+2∠F1FN1=180°
∴∠F1FM1+∠F1FN1=90°
故FM1⊥FN1．
（2）S22=4S1S3成立，证明如下：
证：设M（x1，y1），N（x2，y2）
则由抛物线的定义得
|MM1|=|MF|=，|NN1|=|NF|=，
于是
S1=|MM1||F1M1|=，
S2=|M1N2||FF1|=，
S3=|NN1||F1N1|=，
∵S22=4S1S3⇔•
⇔=，
将与代入上式化简可得
p2（m2p2+p2）=p2（m2p2+p2），此式恒成立．
故S22=4S1S3成立．