Question

已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=4，直线l₁过定点A（1，0）．
（Ⅰ）若l₁与圆相切，求l₁的方程；
（Ⅱ）若l₁与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l₁与l₂：x+2y+2=0的交点为N，求证：AM•AN为定值．

Answer

（I）由直线l1与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求得直线方程，注意分类讨论；
（II）分别联立相应方程，求得M，N的坐标，再求AM•AN．
【解析】
（Ⅰ）①若直线l1的斜率不存在，即直线x=1，符合题意．（2分）
②若直线l1斜率存在，设直线l1为y=k（x-1），即kx-y-k=0．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，
即解之得．
所求直线方程是x=1，3x-4y-3=0．（5分）
（Ⅱ）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx-y-k=0
由得又直线CM与l1垂直，
得．

∴AM*AN=为定值．（10分）