Question

祖国大陆开放台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务．某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设f（n）表示前n年的纯收入（f（n）=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额）
（Ⅰ）从第几年开始获取纯利润？
（Ⅱ）若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万元美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案最合算？

Answer

（I）弄清纯利润就是纯收入大于零的关系，将纯收入表示为年份n的表达式，注意等差数列知识的运用，通过求解不等式得出开始获得纯利润的年份；
（II）通过比较法得出哪种方案最合算，关键要得出每种方案获得的利润和年份的关系，用到求函数最值的思想和方法．
【解析】
由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，
设纯利润与年数的关系为f（n），
则
（I）纯利润就是要求f（n）＞0，∴-2n2+40n-72＞0，
解得2＜n＜18．由n∈N知从第三年开始获利．
（II）①年平均利润=．当且仅当n=6时取等号．
故此方案先获利6×16+48=144（万美元），此时n=6，
②f（n）=-2（n-10）2+128．当n=10时，f（n）max=128．
故第②种方案共获利128+16=144（万美元），
故比较两种方案，获利都是144万美元．
但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①方案．