Question

已知x³+mx²-3x+n=0的三根的平方和为6，且有两个相等的正根，求m、n．

Answer

由一元三次方程根与系数的关系，我们根据方程有两个相等的正根，可将方程的三根设为α，β，β，且β＞0，从而得到一个四元方程组，利用乘法公式处理后，即可得到m、n的值．
【解析】
设方程的三根为α，β，β，且β＞0．
由根与系数的关系及题设有
由（4）-2•（2）得α2-αβ=12（5）
（1）式平方得α2+4αβ+4β2=m2（6）
（5）+（6）得2α2+4β2=12+m2．
由（4）得2•6=12+m2，∴m=0．
由（1）得α+2β=0
∴α=-2β代入（4）式可得6β2=6，β=1（∵β＞0，∴β≠-1）．
α=-2．由（3）n=-αβ2=-（-2）•1=2．
故m=0，n=2．