Question

第8题的题干为：如图，已知正方形的边长为1，在正方形ABCD中有两个相切的内切圆．
（1）求这两个内切圆的半径之和；
（2）当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最小值？当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最大值？
变式（1）在第8题中，若正方形改为矩形，情况又如何？
（2）在第8题中，若正方形改为正方体，圆改为球，情况如何？

Answer

（1）由题意可知三角形CEO1为等腰直角三角形，根据勾股定理得到CO1等于 R1；同理得到AO2等于 R2，根据线段AC等于AO2+O2O1+O1C，将各自的值代入即可表示出AC的长，又根据正方形的边长为1，利用勾股定理求出AC的长度，两者相等即可求出两半径之和的值；
（2）根据两圆的半径，利用圆的面积公式表示出两圆的面积之和，由（1）中求出的两半径之和表示出R2，代入两圆的面积之和的式子中消去R2，得到关于R1的关系式，根据完全平方大于等于0求出两圆面积之和的最小值时，两半径的值即可．
变式：（1）设AB=a，AD=b，作直角△O1O2G，利用勾股定理可得（R1+R2）2=[b-（R1+R2）]2+[a-（R1+R2）]2解得R1+R2=（a+b），表示出两圆面积之和S=πR12+πR22，当R1或R2=min（a，b）时，S有最大值．
（2）球O1和球O2外切，球O1和以C1为顶的三面角的三个面相切，球O2和以A为顶的三面角的三个面相切（设棱长为1），求出两球的体积和，然后利用二次函数求出最大值即可．
【解析】
（1）由图知∠CEO1=90°，CE=O1E=R1
∴2R12=CO12，CO1=．
同理AO2=．
∴AC=AO2+O2O1+O1C
=（R1+R2）+（R1+R2）
=（R1+R2），
又∵AB=1，∴AC=
∴（R1+R2）=，
∴R1+R2=；
（2）两圆面积之和S=πR12+πR22
=
=
=．
∴当R1=，即R1=R2时S为最小．
因R1的最大值为R1=，这时R2为最小值，其值为R2=；
又当R2=时，R1有最小值R1=，
故当R1=（此时R2=）或R1=（此时R2=）时，S有最大值．
变式【解析】
（1）如图，ABCD为矩形．
设AB=a，AD=b
作直角△O1O2G则有
（R1+R2）2=[b-（R1+R2）]2+[a-（R1+R2）]2
解之，得R1+R2=（a+b）
但∵a+b＞R1+R2；，
∴R1+R2=（a+b）
（2）因两圆面积之和S=πR12+πR22

当R1或R2=min（a，b）时，S有最大值．
如图，球O1和球O2外切，
球O1和以C1为顶的三面角的三个面相切，
球O2和以A为顶的三面角的三个面相切（设棱长为1）
同前类似可计算出AO2=R2，C1O1=R1，R1+R2=．
两球的体积和V=

注：在（1）中的a，b必须限制为b＜a≤2b，否则在矩形内之二圆无法相切．