Question

已知数列{a_n}中，a₁=t（t∈R，且t≠0，1），a₂=t²，且当x=t时，f（x）=（a_n-a_n-1）x²-（a_n+1-a_n）x（n≥2）取得极值｡
（1）求证：数列{a_n+1-a_n}是等比数列；
（2）若b_n=a_nln|a_n|（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）当时，数列{b_n}中是否存在最大项？如果存在，说明是第几项；如果不存在，请说明理由｡

Answer

（1）根据当x=t时，f（x）=（an-an-1）x2-（an+1-an）x（n≥2）取得极值，求导，得到f'（t）=0，即an-an-1）t=an+1-an（n≥2）整理可证；
（2）由（1），利用累加法即可求得数列{an}的通项公式，可求数列{bn}的通项公式，再利用错位相减法求和；
（3）根据（2）去绝对值符号，对n分奇偶讨论，解不等式组即可证明结果．
【解析】
（1）由f'（t）=0，
得（an-an-1）t=an+1-an（n≥2）
又a2-a1=t（t-1），t≠0且t≠1，
∴a2-a1≠0，
∴
∴数列{an+1-an}是首项为t2-t，公比为t的等比数列
（2）由（1）知an+1-an=tn+1-tn，
∴an-an-1=tn-tn-1，
∴an-1-an-2=tn-1-tn-2，
…
a2-a1=t2-t，
上面n-1个等式相等并整理得an=tn．（t≠0且t≠1）
bn=anln|an|=tn•ln|tn|=ntn•ln|t|．
∴Sn=（t+2•t2+3•t3++n•tn）ln|t|，
tSn=[t2+2•t3++（n-1）tn+n•tn+1]ln|t|，
两式相减，并整理得
（3）∵
∴当n为偶数时，bn=ntnln|t|＜0；
当n为奇数时，bn=ntnln|t|＞0，∴最大项必须为奇数项
设最大项为：b2k+1，则有
即：
整理得
将代入上式，解得
∵k∈N+
∴k=2，即数列{bn}中的最大项是第5项