Question

用比较法证明下列不等式x，y∈R，x≠y，求证：x⁴+y⁴＞x³y+xy³．

Answer

欲证明x4+y4＞x3y+xy3．根据比较法，只需证明：（a4+b4）-（a2b3+a3b2）＞0，即可，结合因式分解即可证得．
证明：（a4+b4）-（a2b3+a3b2）=（ a5-a3b2）+（b5-a2b3）
=a3（a2-b2）-b3（a2-b2）=（a2-b2） （a3-b3）
=（a+b）（a-b）2（a2+ab+b2）
∵a，b都是正数，∴a+b，a2+ab+b2＞0
又∵a⊃1;b，∴（a-b）2＞0∴（a+b）（a-b）2（a2+ab+b2）＞0
即：a5+b5＞a2b3+a3b2