Question

例1．a、b、c≥0，求证a³+b³+c³≥3abc．

Answer

先将不等式的左侧分解为三个立方和的形式，根据立方和公式展开，第一次使用基本不等式x2+y2≥2xy，再将三个式子相加，合理分组后，第二次使用基本不等式x2+y2≥2xy，化简整理后，即可得到要证的结论．
证明：∵a3+b3=（a+b）（a2+b2-ab）≥（a+b）ab （当且仅当a=b时“=”成立）
b3+c3=（b+c）（b2+c2-bc）≥（b+c）bc （当且仅当b=c时“=”成立）
c3+a3=（a+c）（c2+a2-ca）≥（c+a）ca （当且仅当c=a时“=”成立）
∴2（a3+b3+c3）≥a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2
=b（a2+c2）+a（b2+c2）+c（a2+b2）
≥2abc+2abc+2abc=6abc．（当且仅当a=b=c时“=”成立）
∴a3+b3+c3≥3abc．