Question

a、b、c是△ABC的三边，求证a²+b²+c²＜2（ab+bc+ac）．

Answer

先将待证不等式的右侧变形为a（b+c）+b（a+c）+c（a+b），利用三角形中边的关系进行放缩即可．
证明：2（ab+bc+ac）可变形为
ab+bc+ac+ab+bc+ac
=a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）
因三角形两边和大于第三边，
即b+c＞a，a+c＞b，a+b＞c
故a2=a×a＜a（b+c），b2=b×b＜b（a+c），c2=c×c＜c（a+b）
所以a2+b2+c2＜a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）
∴a2+b2+c2＜2（ab+bc+ac）．