Question

已知f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，且对于任意的x，y∈R都满足f（x）•f（y）=f（x+y）．
（1）求f（0）的值，并证明对任意的x∈R，有f（x）＞0；
（2）设当x＜0时，都有f（x）＞f（0），证明：f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．

Answer

（1）令x=y=0，代入f（x）•f（y）=f（x+y）即可得到f（0）的方程，解之即可求得f（0），再有x=+，即可证得对任意的x∈R，有f（x）＞0；
（2）设x1，x2∈R且x1＜x2，利用定义法作差，整理后即可证得差的符号，进而由定义得出函数的单调性．
【解析】
（1）可得f（0）•f（0）=f（0）
∵f（0）≠0
∴f（0）=1
又对于任意又，∴f（x）＞0
（2）设x1，x2∈R且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=f[（x1-x2）+x2]-f（x2）=f（x2）[f（x1-x2）-1]
∵x1-x2＜0
∴f（x1-x2）＞f（0）=1
∴f（x1-x2）-1＞0
对f（x2）＞0
∴f（x2）f[（x1-x2）-1]＞0
∴f（x1）＞f（x2）故f（x）在R上是减函数