Question

已知定义在R上的奇函数f（x）=x³+bx²+cx+d在x=±1处取得极值．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）试证：对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4成立．

Answer

（1）先根据函数的奇偶性判断b，d的值，在对函数进行求导，令f'（1）=0可求出c的值，进而确定函数解析式．
（2）根据函数的单调性求出f（x）在[-1，1]上的最大值与最小值，然后对|f（x1）-f（x2）|进行放缩即可得证．
【解析】
（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴b=d=0，f（x）=x3+cx∴f'（x）=3x2+c
∵在x=±1处取得极值∴f'（1）=0∴c=-3
∴f（x）=x3-3x；
（2）证明：∵f'（x）=3x2-3
∴令f'（x）=3x2-3=0，x=±1且-1＜x＜1时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减
∵f（x）max=f（-1）=2，f（x）min=f（1）=-2
|f（x1）-f（x2）|≤f（x）max-f（x）min=f（-1）-f（1）2+2=4．