Question

设实数x，y同时满足条件：4x²-9y²=36，且xy＜0．
（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；
（2）判断函数y=f（x）的奇偶性，并证明．

Answer

（1）将含y的移到一侧，然后开根号即可求出函数y=f（x）的解析式，再根据4x2-36=9y2＞0求出x的范围，从而得到函数的定义域．
（2）分段函数奇偶性的判定可分段进行，先判断定义域是否对称，然后根据函数奇偶性的定义进行判定即可．
【解析】
（1）因为4x2-9y2=36，所以．因为xy＜0，所以y≠0．
又因为4x2-36=9y2＞0，所以x＞3或x＜-3．（2分）
因为xy＜0，所以（6分）
函数y=f（x）的定义域为（-∞，-3）∪（3，+∞）．（8分）
（2）当x＜-3时，-x＞3，
所以f（-x）===-f（x）．（10分）
同理，当x＞3时，有f（-x）=-f（x）．（12分）
综上，任意取x∈（-∞，-3）∪（3，+∞），
都有f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函数．（14分）