Question

在几何体ABCDE中，∠BAC=，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，F是BC的中点，AB=AC=BE=2，CD=1
（1）求证：DC∥平面ABE；
（2）求证：AF⊥平面BCDE；
（3）求证：平面AFD⊥平面AFE．

Answer

（1）要证明DC∥平面ABE，关键是要在平面ABE中找到可能与DC平行的直线，观察发现BE满足要求，根据已知证明BE∥DC，再根据线面平行的判定定理即可求解．
（2）要证明AF⊥平面BCDE，由我们要证明AF与平面BCDE中两条相交直线都垂直，由题意分析易证DC、BC均为AF垂直；
（3）由（2）的结论，我们不难证明EF⊥平面AFD，我们再由面面垂直的判定定理，即可得到结论．
【解析】
（1）∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，
∴DC∥EB，
又∵DC⊄平面ABE，
EB⊂平面ABE，
∴DC∥平面ABE，
（2）∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥AF，
又∵AF⊥BC，
∴AF⊥平面BCDE，
（3）由（2）知AF⊥平面BCDE，
∴AF⊥EF，在三角形DEF中，由计算知DF⊥EF，
∴EF⊥平面AFD，又EF⊂平面AFE，
∴平面AFD⊥平面AFE．