Question

已知数列{a_n}中a₁=2，前n项的和为S_n，且4tS_n+1-（3t+8）S_n=8t，其中t＜-3，n∈N*；
（1）证明数列{a_n}为等比数列；
（2）判定{a_n}的单调性，并证明．

Answer

（1）由4tSn+1-（3t+8）Sn=8t按照通项与前n项和间的关系，分当n=1和n≥2两种情况探求得4tan+1-（3t+8）an=0，进而变形得（n≥2，∴t＜-3）由等比数列的定义判断．
（2）因为是正项数列，可用作商比较法＜1得到{an}为递减数列．
解（1）证明：∵4tSn+1-（3t+8）Sn=8t①
当n=1时，4t（a1+a2）-（3t+8）a1=8t而a1=2（2分）
又∵4tSn-（3t+8）Sn-1=8t②（n≥2）
由①②得4tan+1-（3t+8）an=0
即（n≥2，∴t＜-3）（4分）
而
∴{an}是等比数列（8分）

（2）∵an=2（＞0（∵t＜-3）（12分）
∵t＜-3∴（14分）
则
∴{an}为递减数列（16分）