Question

设f（x）为奇函数，对任意x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2，求f（x）在[-3，3]上的最值．

Answer

根据题意先证明单调性，用单调性定义，先设x+y=x1，x=x2，且x1＞x2，y=x1-x2f（x1）-f（x2）=f（x1-x2），
再由x＞0时，f（x）＜0来判断符号，然后利用单调性求得最值．
【解析】
设x+y=x1，x=x2，且x1＞x2，y=x1-x2
f（x1）-f（x2）=f（x1-x2）＜0
∴f（x）在定义域上是减函数．
又∵f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=-6
又∵f（x）为奇函数，
∴f（-3）=-f（3）=6
∴f（x）在[-3，3]上的最大值为：f（-3）=6，最小值为：f（3）=-6