Question

如图：已知BB₁，CC₁是Rt△ABC所在平面同侧的两条相等的斜线段，它们与平面ABC所成的角均为60^°，且BB₁∥CC₁，线段BB₁的端点B₁在平面ABC的射影M恰是BC的中点，已知BC=2，∠ACB=90°
①求异面直线AB₁与BC₁所成的角．
②若二面角A-BB₁-C的大小为30°，求三棱锥C₁-ABC的体积．
③在②的条件下，求直线AB₁与平面BCC₁B₁所成角正切值．

Answer

（1）观察图形，易得AC⊥平面B1BCC1，又∵BC1⊥AB1，∴AB1与BC1成90的角．
（2）根据二面角的大小，将其转化成对应的平面角，进而可知：AC=1，则体积也可以求得了．
（3）本题递进式的，在②的条件下，直线AB1与平面BCC1B1所成角即为∠AB1C．
【解析】
（1）AC⊥平面B1BCC1，
由于四边形BCC1B1为菱形∴BC1⊥B1C∴BC1⊥AB1
∴AB1与BC1成90的角
（2）取BB1的中点D，连CD，则CD⊥BB1
∴AD⊥BB1∴∠ADC为二面角A-BB1-C的平面角即∠ADC=30°
∴AC=1∴
（3）∠AB1C为直线AB1与平面BCC1B1所成的角，其正切值为