Question

已知函数f（x）=2lnx-x．
（1）写出函数f（x）的定义域，并求其单调区间；
（2）已知曲线y=f（x）在点（x，f（x））处的切线是y=kx-2，求k的值．

Answer

（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间．
（2）先求出在x=x处的导数，求出切线的斜率，又过点（x，f（x））求出切线方程，利用所求切线与y=kx-2是同一直线，建立等量关系，求出k即可．
【解析】
（Ⅰ）函数y=f（x）的定义域为：（0，+∞）．（1分）
∵f（x）=2lnx-x，∴．
令f'（x）=0，则x=2．（3分）
当x在（0，+∞）上变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表
∴函数y=f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．（6分）
（Ⅱ）由题意可知：f（x）=2lnx-x，（7分）
曲线y=f（x）在点（x，f（x））处的切线的斜率为．（8分）
∴切线方程为：．（9分）
∴．
∴．（10分）
∵切线方程为y=kx-2，
∴2lnx-2=-2．
∴x=1．
∴曲线y=f（x）在点（x，f（x））处的切线的斜率．（13分）