Question

设P（a，b）、R（a，2）为坐标平面xoy上的点，直线OR（O为坐标原点）与抛物线交于点Q（异于O）．
（1）若对任意ab≠0，点Q在抛物线y=mx²+1（m≠0）上，试问当m为何值时，点P在某一圆上，并求出该圆方程M；
（2）若点P（a，b）（ab≠0）在椭圆x²+4y²=1上，试问：点Q能否在某一双曲线上，若能，求出该双曲线方程，若不能，说明理由；
（3）对（1）中点P所在圆方程M，设A、B是圆M上两点，且满足|OA|•|OB|=1，试问：是否存在一个定圆S，使直线AB恒与圆S相切．

Answer

（1）把直线方程与抛物线方程联立求得交点Q的坐标，代入y=mx2+1，求得a和b的关系式，进而判断出当m=1时，点P（a，b）在圆M：x2+（y-1）2=1上
（2）设，进而根据点Q的坐标，求得y2Q-mx2Q=16，进而判断出，点Q在双曲线y2-4x2=16上．
（3）设AB：x=ky+λ，A（x1，y1），B（x2，y2），进而根据|OA|•|OB|=1，求得y2•y1，进而把直线与圆方程联立，求得y2•y1，进而根据原点O到直线AB距离求得d，进而判断出直线AB恒与圆相切．
【解析】
（1）∵，
代入⇒ma2+b2-2b=0
当m=1时，点P（a，b）在圆M：x2+（y-1）2=1上
（2）∵P（a，b）在椭圆x2+4y2=1上，即a2+（2b）2=1
∴可设
又∵，
∴=（令m=4）
∴点Q在双曲线y2-4x2=16上
（3）∵圆M的方程为x2+（y-1）2=1
设AB：x=ky+λ，A（x1，y1），B（x2，y2），由|OA|•|OB|=1⇒
又∵⇒（k2+1）y2+2（kλ-1）y+λ2=0，
∴
又原点O到直线AB距离
∴，即原点O到直线AB的距离恒为
∴直线AB恒与圆相切．