Question

设数列{a_n}（n=1，2，…）是等差数列，且公差为d，若数列{a_n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．
（1）若a₁=4，d=2，判断该数列是否为“封闭数列”，并说明理由？
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，若公差d=1，a₁＞0，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使；若存在，求{a_n}的通项公式，若不存在，说明理由；
（3）试问：数列{a_n}为“封闭数列”的充要条件是什么？给出你的结论并加以证明．

Answer

（1）由题意知对任意的m，n∈N*，有am+an=（2m+2）+（2n+2）=2（m+n+1）+2，令p=m+n+1，有ap=2p+2∈{an}，所以数列{an}是“封闭数列”．
（2）由{an}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N*，必存在p∈N*使a1+（n-1）+a1+（m-1）=a1+（p-1）成立，于是有a1=p-m-n+1为整数，由此入手结合题设条件能够推导出an=n+1（n∈N*）．
（3）结论：数列{an}为“封闭数列”的充要条件是存在整数m≥-1，使a1=md．然后先证明必要性，再证明充分性．
【解析】
（1）数列{an}是“封闭数列”，因为：an=4+（n-1）•2=2n+2，
对任意的m，n∈N*，有am+an=（2m+2）+（2n+2）=2（m+n+1）+2，
∵m+n+1∈N*于是，令p=m+n+1，则有ap=2p+2∈{an}
（2）【解析】
由{an}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N*，必存在p∈N*使a1+（n-1）+a1+（m-1）=a1+（p-1）成立，
于是有a1=p-m-n+1为整数，
又∵a1＞0
∴a1是正整数．
若a1=1则，所以，
若a1=2，则，所以，
若a1≥3，则，于是，所以，
综上所述，a1=2，
∴an=n+1（n∈N*），显然，该数列是“封闭数列”．
（3）结论：数列{an}为“封闭数列”的充要条件是存在整数m≥-1，使a1=md．
证明：（必要性）任取等差数列的两项as，at（s≠t），若存在ak使as+at=ak，则2a1+（s+t-2）d=a1+（k-1）d⇒a1=（k-s-t+1）d
故存在m=k-s-t+1∈Z，使a1=md，
下面证明m≥-1．当d=0时，显然成立．
对d≠0，若m＜-1，则取p=-m≥2，对不同的两项a1，ap，
存在aq使a1+ap=aq，
即2md+（-m-1）d=md+（q-1）d⇒qd=0，
这与q＞0，d≠0矛盾，
故存在整数m≥-1，使a1=md．
（充分性）若存在整数m≥-1使a1=md，则任取等差数列的两项as，at（s≠t），
于是as+at=a1+（s-1）d+md+（t-1）d=a1+（s+m+t-2）d=as+m+t-1
由于s+t≥3，m≥-1
∴s+t+m-1为正整数，
∴as+m+t-1∈{an}证毕．