Question

数列{a_n}满足S_n=2n-a_n，n∈N⁺．（S_n为前n项和）
（1）计算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想a_n；（2）用数学归纳法证明（1）中的结论．

Answer

（1）由题意Sn=2Sn=2n-an，令n=1因为s1=a1，可求出a1的值，再反复代入Sn=2n-an，分别求出a2，a3，a4，总结出规律；
（2）根据（1）的猜想，利用归纳法进行证明，假设n=k成立，然后利用已知条件验证n=k+1是否成立，从而求证．
【解析】
（1）a1=s1=2-a1，∴a1=1，
s2=a1+a2=2×2-a2，
∴a2=，s3=a1+a2+a3=2×3-a3，
∴a3=，
s4-s3=a4，
∴2×4-a4-a3=a4，a4=，
猜想an=2-（n∈N+）．
（2）证明：①当n=1时，a1=2-=1-1=1，猜想结论成立．
②假设当n=k（k≥1）时结论成立，即ak=2-．
当n=k+1时ak+1=sk+1-sk=2（k+1）-ak+1-2k+ak，
2ak+1=2+ak，ak+1=1+=1+1-=2-．
所以当n=k+1时，猜想结论成立．
由（1）和（2）可知，对一切n（n∈N+）结论成立．