Question

已知点P_n（a_n，b_n）满足a_n+1=a_n•b_n+1，b_n+1=（n∈N^*）且点P₁的坐标为（1，-1）．
（1）求过点P₁，P₂的直线l的方程；
（2）试用数学归纳法证明：对于n∈N^*，点P_n都在（1）中的直线l上．

Answer

（1）由P1的坐标为（1，-1）可得a1=1，b1=-1，只要求出点P2的坐标即可求出过点P1，P2的直线l的方程；
（2）利用数学归纳法进行证明；
【解析】
（1）由P1的坐标为（1，-1）知
a1=1，b1=-1．
∴b2==．
a2=a1•b2=．
∴点P2的坐标为（，）
∴直线l的方程为2x+y=1．

（2）①当n=1时，
2a1+b1=2×1+（-1）=1成立．
②假设n=k（k∈N*，k≥1）时，2ak+bk=1成立，
则2ak+1+bk+1=2ak•bk+1+bk+1=（2ak+1）
===1，
∴当n=k+1时，命题也成立．
由①②知，对n∈N*，都有2an+bn=1，
即点Pn在直线l上．