Question

如图，菱形ABCD所在平面与矩形ACEF所在平面互相垂直，已知BD=2AF，且点M是线段EF的中点．
（1）求证：AM∥平面BDE；（6分）
（2）求证：平面DEF⊥平面BEF．（8分）

Answer

（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，证明EOAM为平行四边形，从而有EO∥AM，再由线面平行的判定定理得到结论．
（Ⅱ）要证明平面DEF⊥平面BEF，要转化DM⊥平面BEF，只要再证明DM⊥EF和DM⊥BM即可．
【解析】
（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE．
由题意可得EM=AC=AO，
又∵EM∥AO，
∴EOAM为平行四边形，
∴EO∥AM．
∵EO⊂平面EBD，AM⊄平面EBD
∴AM∥平面EBD

（Ⅱ）连DM，BM，MO
∵AF⊥AC，EC⊥AC，平面AFEC⊥平面ABCD
∴AF⊥平面ABCD，EC⊥平面ABCD，
∴AF⊥AD，EC⊥DC，又ABCD为菱形，
∴AD=DC，
∴DF=DE．
又点M是EF的中点，
∴DM⊥EF
∵BD=2AF，∴DO=BD=AF=MO
∴∠DMO=45°，同理∠BMO=45°
∴DM⊥BM
又EF∩BM=M
∴DM⊥平面BEF
∴平面DEF⊥平面BEF