Question

设k∈R，x₁，x₂是方程x²-2kx+1-k²=0的两个实数根，则x₁²+x₂²的最小值为   

Answer

x1，x2是方程x2-2kx+1-k2=0的两个实数根，故方程有实数根，则△≥0，由此不难求出参数K的范围，而要求x12+x22的最小值可以先将x12+x22化为（x1+x2）2-2x1•x2的形式再利用韦达定理（即一元二次方程根与系数的关系）将其转化为关于K的不等式，进面求出x12+x22的最小值．
【解析】
∵x1，x2是方程x2-2kx+1-k2=0的两个实数根
△=（2k）2-4（1-k2）=8k2-4≥0
即
又∵x1+x2=2k，x1•x2=1-k2
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2=6k2-2≥1
故x12+x22的最小值为1
故答案为：1