Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面对角线AB₁、BC₁上分别有两点E、F，且B₁E=C₁F．求证：EF∥平面ABCD．

Answer

证法一：根据直线与平面平行的判定定理可知：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么直线和这个平面平行．故只需在平面ABCD中找到与EF平行的直线即可．
证法二：证明一条直线与一个平面平行，除了可以根据直线与平面平行的判定定理以外，通常还可以通过平面与平面平行进行转化，比如过E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，根据三角形相似比可知：平面EFG∥平面ABCD．而EF在平面EFG中，故可以证得：EF∥平面ABCD．
证法一：分别过E、F作EM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，连接MN．
∵BB1⊥平面ABCD，
∴BB1⊥AB，BB1⊥BC．
∴EM∥BB1，FN∥BB1．∴EM∥FN．
又B1E=C1F，∴EM=FN．
故四边形MNFE是平行四边形．
∴EF∥MN．又MN在平面ABCD中，
∴EF∥平面ABCD．
证法二：过E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，则=．
∵B1E=C1F，B1A=C1B，∴=．
∴FG∥B1C1∥BC．
又∵EG∩FG=G，AB∩BC=B，
∴平面EFG∥平面ABCD．而EF在平面EFG中，
∴EF∥平面ABCD．