Question

已知l是过正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的顶点的平面AB₁D₁与下底面ABCD所在平面的交线．
（1）求证：D₁B₁∥l；
（2）若AB=a，求l与D₁间的距离．

Answer

（1）先证明由D1B1∥BD证明D1B1∥平面ABCD，再由线面平行的性质定理证明D1B1∥l．
（2）利用正方体ABCD-A1B1C1D1中线面垂直，作出并证明过点D1与l垂线，在直角三角形中求出．
（1）证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，D1B1∥BD，
∵BD⊂平面ABCD，D1B1⊄平面ABCD
∴D1B1∥平面ABCD．
又∵平面ABCD∩平面AD1B1=l，
∴D1B1∥l．

（2）【解析】
在平面ABCD内，由D作DG⊥l于G，连接D1G，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，得 D1D⊥平面ABCD，
∴D1D⊥l，∵D1D∩DG=D，∴l⊥平面D1DG
∴D1G⊥l，即D1G的长即等于点D1与l间的距离．
∵l∥D1B1∥BD，∴∠DAG=45°．
∴DG=a，在直角三角形D1DG中，
则有 D1G===a．