Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB，点E、M分别为A₁B、C₁C的中点，过点A₁、B、M三点的平面A₁BMN交C₁D₁于点N．
（1）求证：EM∥平面A₁B₁C₁D₁；
（2）求二面角B-A₁N-B₁的正切值；
（3）设截面A₁BMN把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为V₁、V₂（V₁＜V₂），求V₁：V₂的值．

Answer

（1）设A1B1的中点为F，连接EF、FC1．跟中位线的性质可知EFB1B．进而根据C1MB1B判断出EFMC1．推断出EMC1F为平行四边形．进而可知EM∥FC1．推断出EM∥平面A1B1C1D1．
（2）作B1H⊥A1N于H，连接BH．根据BB1⊥平面A1B1C1D1，可知BH⊥A1N，进而推断出∠BHB1为二面角B-A1N-B1的平面角．根据EM∥平面A1B1C1D1，EM⊂平面A1BMN，平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N，推断出EM∥A1N．进而可推断出A1N∥FC1．A1F∥NC1，推知A1FC1N是平行四边形．AA1=a，在Rt△A1D1N中，求得A1N，进而求得sin∠A1ND1，同理求得B1H则在Rt△BB1H中求得答案．
（3）延长A1N与B1C1交于P，则P∈平面A1BMN，且P∈平面BB1C1C．首先判断出几何体MNC1-BA1B1为棱台．进而求得底面积和高，分别求得各自的体积．
【解析】
（1）证明：设A1B1的中点为F，连接EF、FC1．
∵E为A1B的中点，∴EFB1B．
又C1MB1B，∴EFMC1．
∴四边形EMC1F为平行四边形．
∴EM∥FC1．∵EM⊄平面A1B1C1D1，
FC1⊂平面A1B1C1D1，
∴EM∥平面A1B1C1D1．
（2）【解析】
作B1H⊥A1N于H，连接BH．
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BH⊥A1N．
∴∠BHB1为二面角B-A1N-B1的平面角．
∵EM∥平面A1B1C1D1，EM⊂平面A1BMN，平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N，
∴EM∥A1N．
又∵EM∥FC1，∴A1N∥FC1．
又∵A1F∥NC1，∴四边形A1FC1N是平行四边形．∴NC1=A1F．
设AA1=a，则A1B1=2a，D1N=a．
在Rt△A1D1N中，
A1N==a，
∴sin∠A1ND1==．
在Rt△A1B1H中，B1H=A1B1sin∠HA1B1=2a•=a．
在Rt△BB1H中，
tan∠BHB1===．
（3）【解析】
延长A1N与B1C1交于P，则P∈平面A1BMN，且P∈平面BB1C1C．
又∵平面A1BMN∩平面BB1C1C=BM，
∴P∈BM，即直线A1N、B1C1、BM交于一点P．
又∵平面MNC1∥平面BA1B1，
∴几何体MNC1-BA1B1为棱台．
∵S=•2a•a=a2，
S=•a•a=a2，
棱台MNC1-BA1B1的高为B1C1=2a，
V1=•2a•（a2++a2）=a3，∴V2=2a•2a•a-a3=a3．
∴=．