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已知四棱锥P-ABCD的三视图如右图,该棱锥中,PA=AB=1,PD与平面ABC...

已知四棱锥P-ABCD的三视图如右图,该棱锥中,PA=AB=1,PD与平面ABCD所成角是30°,点F是PB的中点,点E在棱BC上移动.
(I)画出该棱锥的直观图并证明:无论点E在棱BC的何处,总有PE⊥AF;
(II)连接DE,设G为DE上一动点,当三棱锥P-AGE的体积为manfen5.com 满分网时,试确定G在DE上的位置.

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(I)根据四棱锥P-ABCD的三视图,及PA=AB=1,PD与平面ABCD所成角是30°我们易画出该棱锥的直观图,结合F是PB的中点,点E在棱BC上移动,我们易根据三角形的性质,分别证明出AF⊥BP,AF⊥BC,进而得到AF与平面PBC垂直,然后根据线面垂直的定义得到结论. (II)由G为DE上一动点,三棱锥P-AGE的体积为,我们根据棱锥的体积计算公式,我们易计算出底面AGE的面积,进而判断出G在DE上的位置. 【解析】 (I)直观图如下图所示: 在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形, ∴∠PDA是PD与底面ABCD所成的角, ∴∠PDA=30°, 又∵BC⊥AB,BC⊥PA,AB∩PA=A ∴BC⊥平面PAB, ∴BC⊥AF 又∵PA=AB=1,F是PB的中点, ∴AF⊥PB,又由BP∩BC=B, ∴AF⊥面PBC 又由PE⊂面PBC ∴AF⊥PE (II) 又∵PA=AB=1,在RT△PAD中,易得AD= 设A到DE的距离为h,则S△AGE=EG•h ∴== ∴EG•h= 又∵S△AED=AD•AB=ED•h ∴=ED•h ∴ ∴2EG=ED 即G是ED的中点.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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