Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC．PA=AB=BC，点E在棱PB上，且PE=2EB．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PCB；
（Ⅱ）求证：PD∥平面EAC；
（Ⅲ）求二面角A-EC-P的大小．

Answer

法一：（Ⅰ）证明平面PAB⊥平面PCB，只需证明平面PCB内的直线BC，垂直平面PAB内的两条相交直线PA，AB，即可证明BC⊥平面PAB，就证明了平面PAB⊥平面PCB；
（Ⅱ）证明平面EAC外的直线PD，平行平面EAC内的直线EM，即可证明PD∥平面EAC；
（Ⅲ）在等腰直角△PAB中，取PB中点N，连接AN，在平面PBC内，过N作NH⊥直线CE于H，连接AH，．说明∠AHN就是二面角A-CE-P的平面角，解Rt△AHN，求二面角A-EC-P的大小．
法二：（Ⅱ）以A为原点，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系，通过向量计算，说明，从而证明PD∥EM．PD⊄平面EAC，EM⊂平面EAC，PD∥平面EAC．
（Ⅲ）求出平面EAC的一个法向量，平面EBC的一个法向量，利用，求二面角A-EC-P的大小．
证明：
（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥BC．
又AB⊥BC，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB．（2分）
又BC⊂平面PCB，
∴平面PAB⊥平面PCB．（4分）
（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，

∴AC为PC在平面ABCD内的射影．
又∵PC⊥AD，
∴AC⊥AD．（5分）
在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得，
∴．
又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形．
∴．
连接BD，交AC于点M，则．（7分）
在△BPD中，，
∴PD∥EM
又PD⊄平面EAC，EM⊂平面EAC，
∴PD∥平面EAC．（9分）
（Ⅲ）在等腰直角△PAB中，取PB中点N，连接AN，则AN⊥PB．
∵平面PAB⊥平面PCB，且平面PAB∩平面PCB=PB，

∴AN⊥平面PBC．
在平面PBC内，过N作NH⊥直线CE于H，连接AH，由于NH是AH在平面CEB内的射影，故AH⊥CE．
∴∠AHN就是二面角A-CE-P的平面角．（12分）
在Rt△PBC中，设CB=a，则，，，，
由NH⊥CE，EB⊥CB可知：△NEH∽△CEB，
∴．
代入解得：．
在Rt△AHN中，，∴（13分）
即二面角A-CE-P的大小为．（14分）
解法二：
（Ⅱ）以A为原点，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系．

设PA=AB=BC=a，则A（0，0，0），B（0，a，0），C（a，a，0），P（0，0，a），．（5分）
设D（a，y，0），则，∵CP⊥AD，
∴，解得：y=-a．∴DC=2AB．
连接BD，交AC于点M，
则．（7分）
在△BPD中，，
∴PD∥EM．
又PD⊄平面EAC，EM⊂平面EAC，
∴PD∥平面EAC．（9分）
（Ⅲ）设=（x，y，1）为平面EAC的一个法向量，则
∴
解得：，∴．（11分）
设=（x'，y'，1）为平面EBC的一个法向量，则，
又，，∴
解得：x'=0，y'=1，∴=（0，1，1）．（12分）（13分）
∴二面角A-CE-P的大小为．（14分）