Question

设的两个极值点．
（1）若x₁=-2，x₂=1，求a，b的值；
（2）若x₁≤x≤x₂，且x₂=a，不等式6f（x）+11a²≥0恒成立，求实数b的取值范围；
（3）若x₁²+x₂²=6+4b²，且b＞0，设，T_n为数列a_n的前n项和，求证：T_n＜4．

Answer

（1）先求出其导函数f'（x）=ax2+bx-（2b2+1）a，利用条件把x1=-2，x2=1转化为方程ax2+bx-（2b2+1）a=0的两根，再利用根与系数的关系即可求a，b的值；
（2）先利用其导函数f'（x）=ax2+bx-（2b2+1）a以及a＞0得f（x）在（x1，x2）上单调递减，故有x1≤x≤x2时，f（x）≥f（x2）=f（a）；不等式6f（x）+11a2≥0恒成立⇔6f（a）+11a2≥0①，再利用f'（a）=a3+ba-（2b2+1）a=0即a2=2b2-b+1②，①②相结合即可求实数b的取值范围；
（3）先利用x1，x2是方程ax2+bx-（2b2+1）a=0的两根以及x12+x22=6+4b2得b2=4a2，进而得b=2a，代入得=即可证明结论．
【解析】
（1）∵
∴f'（x）=ax2+bx-（2b2+1）a（2分）
依题意x1=-2，x2=1是方程ax2+bx-（2b2+1）a=0的两根
则
解之可得：（4分）
（2）由（1）f'（x）=ax2+bx-（2b2+1）a＞0得x＞x1或x＜x2
∴f（x）在（x1，x2）上单调递减
∴x1≤x≤x2时，f（x）≥f（x2）=f（a）（5分）
由题f'（a）=a3+ba-（2b2+1）a=0即a2=2b2-b+1（6分）
若x1≤x≤x2，且x2=a，不等式6f（x）+11a2≥0恒成立⇔6f（a）+11a2≥0（7分）
⇔2a4+3ba2-6（2b2+1）a2+11a2≥0⇔2a2+3b-12b2+5≥0⇔2（2b2-b+1）+3b-12b2+5≥0⇔8b2-b-7≤0⇔
故实数b的取值范围为（9分）
（3）依题意x1，x2是方程ax2+bx-（2b2+1）a=0的两根，则
而x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2
∴∴b2=4a2（10分）
又a＞0，b＞0，
∴b=2a而f'（n）=an2+bn-（2b2+1）a=an2+2an-（8a3+a）
∴（11分）