Question

把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图所示的数表：
第一行有1个正整数，第二行有2个正整数，…，第i行共有2^i-1个正整数，设a_ij（i、j∈N*）是位于这个数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数（如a₃₂=5，a₄₄=11）．
（Ⅰ）求数表中第6行第5个数a₆₅；
（Ⅱ） 若a_ij=300，求i，j的值；
（Ⅲ）记A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn（n∈N*），求A_n．

Answer

（I）根据已知条件可知每行的正整数的个数是等比数列，据此可先算出前5行的数分别为1，2，4，8，16总共31个，从而得到a65=36
（II）观察已知可得每行的第一个数是以1为首项，以2为公比的等比数列，从而得ai1=2i-1，每列的数又构成了以1为公差的等差数列，所以aij=2i-1+j-1，根据该通项判断300的位置
（III）利用（II）可得ann=2n-1+n-1，该书列是等差数列与等比数列的和构成的，用分组求和
【解析】
（I）由于i第行有2i-1个数，前5行共有1+2+4+8+16=31个数
所以第6行的第5个数是正整数的第36个数，所以a65=36
（II）由于每行的第一个数分别为1，2，4，8，…构成以1为首项，以2为公比的等比数列，
每行又构成以1为公差，以2i-1为首项的等差数列
所以第i行的第一个数ai1=2i-1，aij=2i-1+j-1
而a91=28=256
 所以300=a9j=256+j-1，解得j=45
300应在第9行第45列，即i=9，j=45
（III）由（II）可得ann=2n-1+n-1
所以An=a11+a22+…+ann
=（2+0）+（21+1）+（22+2）+…+（2n-1+n-1）
=（2+21+…+2n-1）+（0+1+2+…+n-1）
=