Question

已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆经过圆C：的圆心C．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ） 设Q是椭圆E上的一点，过点Q的直线l交x轴于点F（-1，0），交y轴于点M，若||=2||，求直线l的斜率．

Answer

（1）把圆的方程整理成标准方程求得圆心的坐标，代入椭圆的方程求得a和b的关系，利用椭圆的离心率求得a和b另一关系，联立求得a和b．则椭圆的方程可得．
（2）设出直线l的方程，则M的坐标可得，设出Q的坐标，根据题意可（x1，y1-k）=±2（x1+1，y1）求得x1和y1代入椭圆方程求得k．
【解析】
（1）整理圆的方程可得（x-）2+（y-1）2=3，圆心为（，1）
依题意可得求得a=2，b=
∴椭圆的方程为+=1

（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线斜率为k直线l的方程为y=k（x+1），则有M（0，k），
设Q（x1，y1），由于Q、F、M三点共线，||=2||，
根据题意得（x1，y1-k）=±2（x1+1，y1）解得x1=-2，y1=-k或x1=-，y1=
又Q在椭圆C上，故+=1或+=1
解得k=0，k=±4
综上，直线l的斜率为0或±4．