Question

如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．
（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；
（2）求二面角A-BE-C的余弦值．

Answer

（1）先以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设出点的坐标，求出直线直线BE与AC的方向向量，最后利用向量的夹角公式计算即得异面直线BE与AC所成的角的余弦值；
（2）先分别求得平面ABE的法向量和平面BEC的一个法向量，再利用夹角公式求二面角的余弦值即可．
【解析】
（1）以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．
=（2，0，0）-（0，1，0）=（2，-1，0），=（0，2，-1），（2分）
cos＜＞=．（4分）
由于异面直线BE与AC所成的角是锐角，故其余弦值是．（5分）
（2）=（0，1，-1），设平面ABE的法向量为m1=（x，y，z），
则由m1⊥，m1⊥，得
取n=（1，2，2），
平面BEC的一个法向量为n2=（0，0，1），（7分）
cos＜n1．n2＞==（9分）
由于二面角A-BE-C的平面角是n1与n2的夹角的补角，其余弦值是-．（10分）