Question

假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底，
（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？
（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？

Answer

（1）设中低价房面积形成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，求得首项和公差，利用等差数列的求和公式求得Sn，进而根据Sn≥4750，求得n的最小值．
（2）设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，根据题意可求得数列的首项和公比，则数列的通项公式可得，进而an＞0.85bn，求得n的最小正整数．
【解析】
（1）设中低价房面积形成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，
其中a1=250，d=50，
则Sn=250n+=25n2+225n，
令25n2+225n≥4750，
即n2+9n-190≥0，而n是正整数，∴n≥10，
∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．

（2）设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，
其中b1=400，q=1.08，
则bn=400•（1.08）n-1，
由题意可知an＞0.85bn，有250+（n-1）•50＞400•（1.08）n-1•0.85，
由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，
到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%．