Question

对定义域是D_f．D_g的函数y=f（x）．y=g（x），
规定：函数h（x）=．
（1）若函数f（x）=，g（x）=x²，写出函数h（x）的解析式；
（2）求问题（1）中函数h（x）的值域；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明．

Answer

（1）将f（x）=，g（x）=）=x2，代入h（x）=（2）利用双勾函数的性质求得；（3）令f（x）=sin2x+cos2x，α=
【解析】
（1）h（x）=．
（2）当x≠1时，h（x）==x-1++2，
若x＞1时，则h（x）≥4，其中等号当x=2时成立
若x＜1时，则h（x）≤0，其中等号当x=0时成立
∴函数h（x）的值域是（-∞，0]∪{1}∪[4，+∞）
（3）令f（x）=sin2x+cos2x，α=
则g（x）=f（x+α）=sin2（x+）+cos2（x+）=cos2x-sin2x，
于是h（x）=f（x）•f（x+α）=（sin2x+co2sx）（cos2x-sin2x）=cos4x．
另解令f（x）=1+sin2x，α=，
g（x）=f（x+α）=1+sin2（x+π）=1-sin2x，
于是h（x）=f（x）•f（x+α）=（1+sin2x）（1-sin2x）=cos4x．