Question

在直角坐标平面中，已知点P₁（1，2），P₂（2，2²），P₃（3，2³），…，P_n（n，2ⁿ），其中n是正整数．对平面上任一点A，记A₁为A关于点P₁的对称点，A₂为A₁关于点P₂的对称点，…，A_n为A_n-1关于点P_n的对称点．
（1）求向量的坐标；
（2）当点A在曲线C上移动时，点A₂的轨迹是函数y=f（x）的图象，其中f（x）是以3位周期的周期函数，且当x∈（0，3]时，f（x）=lgx．求以曲线C为图象的函数在（1，4]上的解析式；
（3）对任意偶数n，用n表示向量的坐标．

Answer

（1）利用中点坐标公式求出点A1，A2的坐标，再利用向量的坐标公式求出的坐标．
（2）由已知判断出y=f（x）的图象是由C按平移得到的；得到C是由f（x）左移两个单位，下移4个单位得到，利用图象变换求出C的解析式．
（3）利用向量的运算法则将有以Pn为起点终点的向量表示，利用向量的坐标公式求出各向量的坐标，利用等比数列的前n项和公式求出向量的坐标．
【解析】
（1）设点A（x，y），A1为A关于点P1的对称点，A1的坐标为（2-x，4-y），
A1为P2关于点的对称点A2的坐标为（2+x，4+y），
∴={2，4}．
（2）∵={2，4}，
∴f（x）的图象由曲线C向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到．
因此，设曲线C是函数y=g（x）的图象，
其中g（x）是以3为周期的周期函数，
且当x∈（-2，1]时，g（x）=lg（x+2）-4．
于是，当x∈（1，4]时，g（x）=lg（x-1）-4．
（3）=++…+，
由于=，得=2（++…+）
=2（{1，2}+{1，23}+…+{1，2n-1}）=2{，}={n，}