Question

已知函数f（x）=ax³+x²+bx（其中常数a，b∈R），g（x）=f（x）+f'（x）是奇函数．
（1）求f（x）的表达式；
（2）讨论g（x）的单调性，并求g（x）在区间[1，2]上的最大值和最小值．

Answer

（Ⅰ）由f'（x）=3ax2+2x+b得g（x）=fax2+（3a+1）x2+（b+2）x+b，再由函数g（x）是奇函数，由g（-x）=-g（x），利用待系数法求解．
（2）由（1）知，再求导g'（x）=-x2+2，由g'（x）≥0求得增区间，由g'（x）≤0求得减区间；求最值时从极值和端点值中取．
【解析】
（1）由题意得f'（x）=3ax2+2x+b
因此g（x）=f（x）+f'（x）=ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b
因为函数g（x）是奇函数，所以g（-x）=-g（x），
即对任意实数x，有a（-x）3+（3a+1）（-x）2+（b+2）（-x）+b=-[ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b]
从而3a+1=0，b=0，
解得，因此f（x）的解析表达式为．
（2）由（Ⅰ）知，
所以g'（x）=-x2+2，令g'（x）=0
解得
则当时，g'（x）＜0
从而g（x）在区间，上是减函数，
当，
从而g（x）在区间上是增函数，
由前面讨论知，g（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值只能在时取得，
而，
因此g（x）在区间[1，2]上的最大值为，最小值为．