Question

在正方体AC₁中，E是CD的中点，连接AE并延长与BC的延长线交于点F，连接BE并延长交AD的延长线于点G，连接FG．
求证：直线FG⊂平面ABCD且直线FG∥直线A₁B₁．

Answer

分别说明点F与点G在平面ABCD内，结合公理一直线上有两点在平面内则这条直线就在这个平面内，易证四边形CFGD是平行四边形，结合棱柱的结构特征，即可求出直线FG∥直线A1B1．
证明：由已知得E是CD的中点，
在正方体中，有A∈平面ABCD，
E∈平面ABCD，
所以AE⊂平面ABCD．
又AE∩BC=F，所以F∈AE，
从而F∈平面ABCD．
同理，G∈平面ABCD，
所以FG⊂平面ABCD．
因为ECAB，故在Rt△FBA中，CF=BC，
同理，DG=AD．又在正方形ABCD中，BCAD，
所以CFDG．
所以四边形CFGD是平行四边形．
所以FG∥CD．又CD∥AB，AB∥A1B1，
所以直线FG∥直线A1B1．