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已知空间四边形ABCD的对角线AC、BD,点E、F、G、H、M、N分别是AB、B...

已知空间四边形ABCD的对角线AC、BD,点E、F、G、H、M、N分别是AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点.求证:三线段EG、FH、MN交于一点且被该点平分.
此题由中点很容易得到四边形EFGH与四边形MFNH为平行四边形,EG、FH、MN为它们的对角线,且FH为公用的对角线,所以EG、FH、MN交于它们的中点,即被该点平分. 证明:如图所示, 连接EF、FG、GH、HE. ∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点, ∴EF∥AC,HG∥AC, ∴EF∥HG,同理,EH∥FG, ∴四边形EFGH是平行四边形. 设EG∩FH=O, 则O平分EG、FH. 同理,四边形MFNH是平行四边形, 设MN∩FH=O′,则O′平分MN、FH. ∵点O、O′都平分线段FH, ∴点O与点O′重合, ∴MN过EG和FH的交点,即三线段EG、FH、MN交于一点且被该点平分.
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考点分析:
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在正方体AC1中,E是CD的中点,连接AE并延长与BC的延长线交于点F,连接BE并延长交AD的延长线于点G,连接FG.
求证:直线FG⊂平面ABCD且直线FG∥直线A1B1

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如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为AB的中点,N为BB1的中点,O为平面BCC1B1的中心.
(1)过O作一直线与AN交于P,与CM交于Q(只写作法,不必证明);
(2)求PQ的长.

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一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:
①AB⊥EF;
②AB与CM所成的角为60°;
③EF与MN是异面直线;
④MN∥CD.
以上四个命题中,正确命题的序号是    
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a,b,c是空间中互不重合的三条直线,下面给出五个命题:
①若a∥b,b∥c,则a∥c;
②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;
③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;
④若a⊂平面α,b⊂平面β,则a,b一定是异面直线;
⑤若a,b与c成等角,则a∥B、
上述命题中正确的     (只填序号). 查看答案
若两条异面直线所成的角为60°,则称这对异面直线为“黄金异面直线对”,在连接正方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有     对.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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