Question

三棱锥P-ABC中，PC、AC、BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点．
（Ⅰ）证明平面GFE∥平面PCB；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小；
（Ⅲ）求直线PF与平面PAB所成角的大小．

Answer

（Ⅰ）证明平面GFE∥平面PCB，只需证明EF∥平面PCB，GF∥平面PCB即可；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小，利用三垂线定理，作出二面角的平面角，解三角形即可．
（Ⅲ）求直线PF与平面PAB所成角的大小，设PB的中点为K，连接KC，AK，∠MPF是直线PF与平面PAB所成的角．解答即可．
或者建立空间直角坐标系，利用向量数量积求解即可．
【解析】
方法1：
（Ⅰ）证明：因为E、F、G分别是AB、AC、AP的中点，
所以EF∥BC，GF∥CP．（1分）
因为EF、GF⊄平面PCB，
所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB．
又EF∩GF=F，
所以平面GFE∥平面PCB．（3分）
（Ⅱ）【解析】
过点C在平面PAC内作CH⊥PA，垂足为H．
连接HB．

因为BC⊥PC，BC⊥AC，且PC∩AC=C，
所以BC⊥平面PAC．
所以HB⊥PA．
所以∠BHC是二面角B-AP-C的平面角．（6分）
依条件容易求出CH=．
所以tan∠BHC==．
所以∠BHC=arctan．
所以二面角B-AP-C的大小是arctan．（8分）

（Ⅲ）解法1：如图，设PB的中点为K，
连接KC，AK，因为△PCB为等腰直角三角形，
所以KC⊥PB．
又AC⊥PC，AC⊥BC，且PC∩BC=C，
所以AC⊥平面PCB．
所以AK⊥PB．
因为AK∩KC=K，
所以PB⊥平面AKC．
又PB⊂平面PAB，
所以平面AKC⊥平面PAB．
在平面AKC内，过点F作FM⊥AK，垂足为M．
因为平面AKC⊥平面PAB，
所以FM⊥平面PAB．
连接PM，
所以∠MPF是直线PF与平面PAB所成的角．（11分）
容易求出PF=，FM=．
所以sin∠MPF==．
所以∠MPF=arcsin．
即直线PF与平面PAB所成的角的大小是arcsin．（13分）

（Ⅲ）解法2：连接FB，
因为PC⊥BC，PC⊥AC，且BC∩AC=C，
所以PC⊥平面ABC．
即PC是三棱锥P-ABF的高．
依条件知VP-ABF=×PC×（×AF×BC）
=×1×（×1×1）=．
又VF-PAB=×h×S△PAB（其中h是点F到平面PAB的距离）
=×h×（××）=×h×=h，
所以由=h解得h=．（11分）
设PF与平面PAB所成的角为α，
又PF=，
所以sinα===．
所以α=arcsin．
即直线AC与平面PAB所成角大小是arcsin．（13分）

方法2：依条件建立如图所示空间直角坐标系C-xyz．
所以A（2，0，0），B（0，1，0），P（0，0，1）
（Ⅰ）略（3分）
（Ⅱ）【解析】
显然=（0，1，0）是平面PAC的一
个法向量．
设n=（x，y，z）是平面PAB的一个法向量，
因为=（-2，0，1），=（-2，1，0），
所以由n•=0，n•=0解得n=（1，2，2）．（6分）
设二面角B-AP-C的大小为θ，
所以cosθ==．
所以二面角B-AP-C的大小为arccos．（arccos=arctan）（8分）
（Ⅲ）【解析】
设PF与平面PAB所成的角为α，
由（Ⅱ）知平面PAB的一个法向量n=（1，2，2）．
又=（-1，0，1），
所以cos（-α）==．（11分）
所以sinα=．
所以α=arcsin．
即直线AC与平面PAB所成角的大小是arcsin．（13分）