Question

已知动点P到点F（2，0）的距离与它到直线x=1的距离之比为．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设点P的轨迹为曲线C，过点F作互相垂直的两条直线l₁、l₂，l₁交曲线C于A、B两点，l₂交曲线C于M、N两点．求证：为定值．

Answer

（1）设出动点P的坐标，直接利用条件写方程，化简．
（2）当当直线l1，l2之一与x轴垂直时，易求此定值，当直线l1，l2都不与x轴垂直时，设出直线l1的方程，得到l2的方程，将l1的方程于双曲线的方程联立，利用根与系数的关系计算与，进而计算•的值，同理计算•的值，即得结果．
【解析】
（Ⅰ）设P（x，y），由题意得：．
所以点P的轨迹方程为x2-y2=2．（4分）
（Ⅱ）当直线l1，l2之一与x轴垂直，不妨设l1与x轴垂直，此时，，，，，，
所以．（6分）
当直线l1，l2都不与x轴垂直时，
由题意设直线l1为y=k（x-2）k≠0，
则l2的方程，
由得（1-k2）x2+4k2x-4k2-2=0．（7分）
因为l1交双曲线C于A、B两点，
所以解得k≠±1．（8分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，y1=k（x1-2），y2=k（x2-2），
因为=（x1-2，y1），=（x2-2，y2），
所以=（1+k2）[x1x2-2（x1+x2）+4]==（11分）
同理，（12分）
所以=，
即为定值0．（14分）