Question

某市物价局调查了某种治疗H1N1流感的常规药品在2009年每个月的批发价格和该药品在药店的销售价格，调查发现，该药品的批发价格按月份以12元/盒为中心价随某一正弦曲线上下波动，且3月份的批发价格最高为14元/盒，7月份的批发价格最低为10元/盒．该药品在药店的销售价格按月份以14元/盒为中心价随另一正弦曲线上下波动，且5月份的销售价格最高为16元/盒，9月份的销售价格最低为12元/盒．
（Ⅰ）求该药品每盒的批发价格f（x）和销售价格g（x）关于月份x的函数解析式；
（Ⅱ）假设某药店每月初都购进这种药品p盒，且当月售完，求该药店在2009年哪些月份是盈利的？说明你的理由．

Answer

（1）设f（x）=A1sin（ω1x+φ1），根据价格最高和最低可求得振幅A1，根据月份求得周期，进而可求得ω，把x=3代入函数式求得φ，则函数f（x）的解析式可得，同样的道理可求得该药品每件的销售价格函数解析式．
（2）设该药店第x月购进这种药品p盒所获利润为y元，则根据y=p[g（x）-f（x）]把（1）中求得f（x）和g（x）代入整理，根据y＞0，求得x的范围，进而根据x∈N*，推断x的值．
【解析】
（1）设f（x）=A1sin（ω1x+φ1），由已知，b1=12，A1==2．
又周期T1=2（7-3）=8，则ω==，从而f（x）=2sin（x+φ1）+12
因为f（3）=14，则2sin（+φ1）+12=14，即sin（+φ1）=1，可取φ1=-
故该商品每件的批发价函数解析式为f（x）=2sin（x-）+12
同理，该药品每件的销售价格函数解析式为g（x）=2sin（x-）+14．
（2）设该药店第x月购进这种药品p盒所获利润为y元，则
y=p[g（x）-f（x）]=p[2sin（x-）+14-2sin（x-）-12=2p（1-sinx）
由y＞0，得1-sinx＞0，即sinx＜，所以2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z．
即8k+3＜x＜8k+9，k∈Z
∵x≤12且x∈N*，则x=4，5，6，7，8，12．
故该药店在2009年4月，5月，6月，7月，8月，12月是盈利的．