Question

设f（x）是定义在（0，+∞）上的单调可导函数．已知对于任意正数x，都有，且f（1）=a＞0．
（Ⅰ）求f（a+2），并求a的值；
（Ⅱ）令，证明：数列{a_n}是等差数列．

Answer

（Ⅰ）对x进行赋值，先取x=1，然后取x=a+2，建立等量关系，最后根据单调性建立关于a的方程，解之即可；
（Ⅱ）对x进行赋值，先取x=n，然后取x=，建立等量关系，最后根据单调性建立关于an的方程，求出an，再根据等差数列的定义进行判定即可．
【解析】
（Ⅰ）取x=1，则；
再取x=a+2，则
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数∴，
解之得：a=2，或a=-1（舍去）．
（Ⅱ）取x=n，
则，
再取，
则
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数
∴，即2an2+nan-n2=0
解之得：，或an=-n（舍去）
又（常数）n∈N*
所以，数列{an}是等差数列．