Question

已知椭圆，过椭圆左顶点A（-a，0）的直线L与椭圆交于Q，与y轴交于R，过原点与L平行的直线与椭圆交于P，求证：AQ，，AR成等比数列．

Answer

根据题意设过左顶点的直线解析式为：y-0=k（x+a）则与L平行的直线为y=kx分别求出Q、R、P点坐标，表示出AQ，OP，AR．只需证2OP2=AQ•AR即可得证．
【解析】
设过左顶点A的直线L解析式为：y-0=k（x+a）即y=kx+ka，与y轴交点R坐标为（0，ka）；
AR=；
联立
得到AQ=2；
则过原点的直线为y=kx，与椭圆的交点为P，
联立
得：
所以P（，k），OP=．
得：2OP2=AQ•AR
故AQ，，AR成等比数列．