Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n项和S_n满足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3）．令b_n=．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若f（x）=2^x-1，求证：Tn=b₁f（1）+b₂f（2）+…+b_nf（n）＜（n≥1）．

Answer

（Ⅰ）由题意知an=an-1+2n-1（n≥3）（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+a2=2n+1．
（Ⅱ）由于=．故Tn=b1f（1）+b2f（2）+…+bnf（n）
=，由此可证明Tn=b1f（1）+b2f（2）+…+bnf（n）＜（n≥1）．
【解析】
（Ⅰ）由题意知Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1（n≥3）
即an=an-1+2n-1（n≥3）
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+a2
=2n-1+2n-2+…+22+5
=2n+1（n≥3）
检验知n=1、2时，结论也成立，故an=2n+1．
（Ⅱ）由于
=
=．
故Tn=b1f（1）+b2f（2）+…+bnf（n）
=
=．