Question

已知椭圆=1（a＞b＞c＞0，a²=b²+c²）的左、右焦点分别为F₁，F₂，若以F₂为圆心，b-c为半径作圆F₂，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于（a-c）．
（1）证明：椭圆上的点到点F₂的最短距离为a-c；
（2）求椭圆的离心率e的取值范围；
（3）设椭圆的短半轴长为1，圆F₂与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F₂截得的弦长s的最大值．

Answer

（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x，y），根据Q点到右准线的距离和椭圆的第二定义，求得x的范围，进而求得椭圆上的点到点F2的最短距离
（2）可先表示出|PT|，进而可知当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，根据≥（a-c）求得e的范围．
（3）设直线的方程为y=k（x-1），与抛物线方程联立方程组消去y得，根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2，代入直线方程求得y1y2，根据OA⊥OB，可知=0，∴k=a，直线的方程为ax-y-a=0根据圆心F2（c，0）到直线l的距离，进而求得答案．
【解析】
（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x，y），
Q点到右准线的距离为d=-x，
则由椭圆的第二定义知：=，
∴|QF2|=a-，又-a≤x≤a，
∴当x=a时，
∴|QF2|min=a-c．

（2）依题意设切线长|PT|=
∴当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，
∴≥（a-c），
∴0＜≤，从而解得≤e＜，
故离心率e的取值范围是解得≤e＜，

（3）依题意Q点的坐标为（1，0），
则直线的方程为y=k（x-1），
与抛物线方程联立方程组消去y得（a2k2+1）x2-2a2k2x+a2k2-a2=0
得，
设A（x1，y1）（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=，
代入直线方程得y1y2=，
x1x2=+y1y2=，又OA⊥OB，
∴=0，
∴k=a，
直线的方程为ax-y-a=0，
圆心F2（c，0）到直线l的距离d=，
∴≤e＜•，∴≤c＜1，2c+1＜3，
∴s∈（0，），所以弦长s的最大值为．